Question

16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）C（8，0）D（8，8）抛物线y=ax²+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？
（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；再将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据相似三角形的性质求出点E的横坐标表达式即为点G的横坐标表达式，代入二次函数解析式，求出纵坐标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答；
②当△CEQ为等腰三角形时，可分EQ=QC，EC=CQ，EQ=EC三种情况讨论．根据两点间距离公式列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx，
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=8}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x；

（2）①∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{PE}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{PE}{4}$=$\frac{AP}{8}$，
∴PE=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$t，PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+$\frac{1}{2}$t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：-$\frac{1}{2}$（4+$\frac{1}{2}$t）²+4（4+$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{1}{8}$t²+8．
∴EG=-$\frac{1}{8}$t²+8-（8-t）=-$\frac{1}{8}$t²+t．
∵-$\frac{1}{8}$＜0，
∴当t=$\frac{-1}{2×（-\frac{1}{8}）}$=4时，线段EG最长为2；

②∵Q（8，t），E（4+$\frac{1}{2}$t，8-t），C（8，0），
∴EQ²=（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²，QC²=t²，EC²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²．
当△CEQ为等腰三角形时，分三种情况：
（Ⅰ）当EQ=QC时，
（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=t²，
整理得13t²-144t+320=0，
解得t=$\frac{40}{13}$或t=$\frac{104}{13}$=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；
（Ⅱ）当EC=CQ时，
（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²=t²，
整理得t²-80t+320=0，
解得t=40-16$\sqrt{5}$，t=40+16$\sqrt{5}$＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）；
（Ⅲ）当EQ=EC时，
（$\frac{1}{2}$t-4）²+（8-2t）²=（4+$\frac{1}{2}$t-8）²+（8-t）²，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=$\frac{16}{3}$．
综上所述，存在时刻t₁=$\frac{16}{3}$，t₂=$\frac{40}{13}$，t₃=40-16$\sqrt{5}$，能够使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数最值的求法，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，利用分类讨论及方程思想是解题的关键．