Question

11．抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为D，点M是抛物线上任意一点．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线对称轴右侧的图象上有一点M，且满足∠AMC=∠MCD，求出点M的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点N，使以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于AM∥CD时，∠AMC=∠MCD，所以先利用配方法求出抛物线顶点D的坐标，再利用待定系数法求出l_CD：y=-x-3，l_AM：y=-x-1，解方程x²-2x-3=-x-1，求出M点坐标即可；
（3）以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形时，分三种情况进行讨论：①若∠BNC=90°，则BC²=BN²+NC²，②若∠NBC=90°，则NC²=BN²+BC²，③若∠NCB=90°，则BN²=NC²+BC²，分别求出N点坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（-1，0）、C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）如图1，当AM∥CD时，∠AMC=∠MCD．
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4）．
设直线CD的解析式为y=kx-3，
∵D（1，-4），
∴k-3=-4，k=-1，
∴直线CD的解析式为l_CD：y=-x-3．
设直线AM为：y=-x+m，
∵A（-1，0），
∴1+m=0，m=-1，
∴直线AM的解析式为l_AM：y=-x-1．
当y=x²-2x-3=-x-1时，AM∥CD，
解得x₁=-1（舍去），x₂=2，
∴y=-2-1=-3，
∴点M的坐标为（2，-3）；

（3）设N（1，n），
∵B（3，0），C（0，-3），
∴BN=$\sqrt{4+{n}^{2}}$，NC=$\sqrt{1+（n+3）^{2}}$，BC=3$\sqrt{2}$．
当以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形时，可分三种情况进行讨论：
①如图2，若∠BNC=90°，则BC²=BN²+NC²，
即18=4+n²+1+n²+6n+9，
整理，得n²+3n-2=0，
解得：n=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
所以N（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或N（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）；
②若∠NBC=90°，则NC²=BN²+BC²，
即1+n²+6n+9=4+n²+18，
整理，得6n=12，
解得n=2，
所以N（1，2）；
③若∠NCB=90°，则BN²=NC²+BC²，
即4+n²=1+n²+6n+9+18，
整理，得6n=-24，
解得n=-4，
所以N（1，-4），
综上，当N（1，$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$）或N（1，$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$）或N（1，2）或N（1，-4）时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，平行线的性质，抛物线的顶点坐标求法，直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，利用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．