Question

2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．
（1）求证：AF=CD；
（2）若AB=AC，∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，求sin∠ABF的值．

Answer 1

分析 （1）根据中点的性质，可得AE与DE的关系，根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得AF与BD的关系，根据等量代换，可得答案；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF的形状，根据等腰直角三角形的性质，可得∠ADC、∠ACD的度数，根据正方形的判定，可得答案；
（3）根据平行线的性质，可得∠MAF=∠ABC=45°，根据三角函数，可得MF，根据勾股定理，可得BF的长，根据正弦函数的定义，可得答案．．

解答 （1）证明∵AD是BC边上的中线，点E是AD的中点
∴BD=CD，AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠DBE．
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠FAE=∠BDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD，
∴DC=AF．
（2）∵AF=CD，AF∥CD
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
即∠ADC=∠ADB=90°，四边形AFCD是矩形．
∵AB=AC，∠BAC=90时，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=AC，
∴四边形AFCD是正方形；
（3）设正方形ADCF的边长为2a，过点F作FM⊥AB于点M，如图：

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵AF∥BC，
∠MAF=∠ABC=45°．
在Rt△AFM中，AF=2a，
MF=AF•sin∠MAF=2a•sin45°=$\sqrt{2}$a．
在Rt△BCF中，BC=2DC=2×2a=4a，FC=2a，
由勾股定理，得
BF=$\sqrt{B{C}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
在Rt△BFM中，sin∠ABF=$\frac{MF}{BF}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了四边形综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质，（2）利用了等腰直角三角形的性质，正方形的判定；（3）利用了平行线的性质，勾股定理吧，锐角三角函数中的正弦函数．