Question

9．已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．
（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；
（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应x的取值范围；
（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两圆公共弦EF的长．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：6，求得BD的长即可求得圆的半径；
（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小关系得到位置关系即可；
（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE²-PG²=BE²-BG²求得m的值，然后根据EG²-BG²=BE²求得EG的长即可求得EF的长．

解答 解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2．
∵直线CD与⊙B相切，
∴CD⊥AB，
∵∠DBC=∠ACH，
∴cos∠DBC=cos∠ACH，
∴BD：BC=CH：CA，
∴BD：4=2：6，
∴BD=$\frac{4}{3}$．
 
（2）如图1，作PK⊥BC于点K，
∴PK∥AH．
∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2，
∴AH=4$\sqrt{2}$．
∵以AC为直径作⊙P，
∴AP=PC，
∴PK=2$\sqrt{2}$，CK=$\frac{1}{4}$BC=1，
∴BK=3，
∴在Rt△PBK中，PB=$\sqrt{P{K}^{2}+B{K}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴当0＜x＜$\sqrt{17}$-3时，⊙B与⊙P外离，当x=$\sqrt{17}$-3时，⊙B与⊙P外切，
当$\sqrt{17}$-3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；
  
（3）如图2，点E即为BC边的中点H，
∴PE=3．
设EF与PB交于点G，BG=m，
∴在△PBE中，PE²-PG²=BE²-BG²，
∴3²-（$\sqrt{17}$-m）²=2²-m²，
∴m=$\frac{6}{17}\sqrt{17}$．
∵EG²-BG²=BE²，
∴EG²-（$\frac{6}{17}\sqrt{17}$ ）²=2²，
∴EG=$\frac{4}{17}$$\sqrt{34}$，
∴EF=$\frac{8}{17}$$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG的长更是解决本题的关键．