Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=2，CD=4，tanB=

4

3

．点P在AB上，PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，若点P从点B开始沿BA向点A运动，
（1）求AB的长度；
（2）设BP=x，用含x的代数式表示矩形CMPN的面积S．
（3）当点P移动到何位置时，矩形CMPN的面积S取最大值，并求最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,梯形

专题：

分析：（1）作AE⊥BC于点E，根据正切的定义，即可求得AE和BE的值，然后利用勾股定理即可求解；
（2）根据（1）的解法，利用x表示出PM和CM的长，即可得到函数解析式；
（3）利用二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）作AE⊥BC于点E．
则BE=BC-AD=4-2=2，
∵tanB=

4

3

，
∴设PM=4y，则BM=3y，则BP=5y．
当AE=CD=4时，4y=4，
则y=1，
则AB=5y=5，BE=3；
（2）BC=AD+BE=2+3=5．
设BP=x，即5y=x，解得：y=

1

5

x，PM=

4

5

x，BM=

3

5

x，
则CM=5-

3

5

x，
则S=

4

5

x（5-

3

5

x），即S=-

12

25

x²+4x；
（3）当x=-

b

2a

=-

4

- 24 25

=

25

6

，则S_最大=-

12

25

×（

25

6

）²+4×

25

6

=

25

3

．

点评：本题是二次函数的性质与直角梯形的应用，以及三角函数的定义，正确求得直角△BPM中的三边之间的关系是关键．