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【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=CBD.

(1)求证:CD是⊙O的切线;

(2)若BC=6,tanCDA=,求CD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)4.

【解析】

(1)连接OD,如图,先证明∠CDA=ODB,再根据圆周角定理得∠ADO+ODB=90°,则∠ADO+CDA=90°,即∠CDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)由于∠CDA=ODB,则tanCDA=tanABD=,根据正切的定义得到tanABD=,接着证明CAD∽△CDB,由相似的性质得,然后根据比例的性质可计算出CD的长.

(1)证明:连接OD,如图,

OB=OD,

∴∠OBD=BDO,

∵∠CDA=CBD,

∴∠CDA=ODB,

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,即∠ADO+ODB=90°,

∴∠ADO+CDA=90°,

即∠CDO=90°,

ODCD,

CD是⊙O的切线;

(2)∵∠CDA=ODB,

tanCDA=tanABD=

RtABD中,tanABD=

∵∠DAC=BDC,CDA=CBD,

∴△CAD∽△CDB,

CD=×6=4.

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