【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=6,tan∠CDA=,求CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)4.
【解析】
(1)连接OD,如图,先证明∠CDA=∠ODB,再根据圆周角定理得∠ADO+∠ODB=90°,则∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)由于∠CDA=∠ODB,则tan∠CDA=tan∠ABD=,根据正切的定义得到tan∠ABD=,接着证明△CAD∽△CDB,由相似的性质得,然后根据比例的性质可计算出CD的长.
详(1)证明:连接OD,如图,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠BDO,
∵∠CDA=∠CBD,
∴∠CDA=∠ODB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ADO+∠CDA=90°,
即∠CDO=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵∠CDA=∠ODB,
∴tan∠CDA=tan∠ABD=,
在Rt△ABD中,tan∠ABD=,
∵∠DAC=∠BDC,∠CDA=∠CBD,
∴△CAD∽△CDB,
∴,
∴CD=×6=4.
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【题目】一般情况下不成立,但有些数对可以使得它成立,例如:a=b=0.我们称使得成立的一对数a,b为“相伴数对”,记为(a,b).
(1)若(1,k)是“相伴数对”,求k的值;
(2)直接写出一个“相伴数对”(a0,b0),其中a0≠0,且a0≠1;
(3)若(m,n)是“相伴数对”,求的值.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动,同时,点Q在线段CA上由点C向A点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由.
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
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【题目】如图所示,在下列条件中,不能作为判断△ABD≌△BAC的条件是( )
A. ∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B. ∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC
C. BD=AC,∠BAD=∠ABC D. AD=BC,BD=AC
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,B在圆上,BC,AD分别与该圆相交于点E,F,G是弧AF的三等分点(弧AG>弧GF),BG交AF于点H.若弧AB的度数为30°,则∠GHF等于( )
A. 40° B. 45° C. 55° D. 80°
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【题目】某公园门票价是每人10元,公园规定:如果一次购票满30张,每张可少收2元.
(1)若某班有18名同学去公园,则需要 元;
(2)若某班有名同学去公园共需要 元;
(3)若某班有27名同学去公园,怎样买票更合算?最少需要多少元?
(4)若某班去公园共交费240元,则该班可能有多少人去公园?
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【题目】如图,在中,,平分交于点.
(1)若BC=7,BD=4,则点到的距离是________;
(2)若,点到的距离是8,则的长是________.
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