Question

【题目】如图、，在平行四边形中，、的角平分线、分别与线段两侧的延长线（或线段）相交与、，与相交于点.

（1）在图中，求证：，.

（2）在图中，仍有（1）中的，成立，请解答下面问题：

①若，，，求和的长；

②是否能给平行四边形的边和角各添加一个条件，使得点恰好落在边上且为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，，②，，见解析.

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论；

（2）①由（1）题的思路可求得FG的长，再证明△BCG是等边三角形，从而得，过点作交延长线于点，在Rt△AFH中用勾股定理即可求出AF的长；

②若使点恰好落在边上且为等腰三角形，易得F、G两点重合于点E，再结合（1）（2）的结论进行分析即可得到结论.

解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，.

∴，

又∵、是与的角平分线，

∴，即∠AEB=90°，

∴，

∵，∴，

又∵是的角平分线、

∴，

∴.

同理可得.

∴；

（2）解：①由已知可得，、仍是与的角平分线且，

，，，

.

如图，过点作交延长线于点.

∵，，.

.

∵，，，

，，，

.

②，（类似答案均可）.

若使点恰好落在边上，则易得F、G两点重合于点E，又由（1）（2）的结论知，，所以平行四边形的边应满足；

若使点恰好落在边上且为等腰三角形，则EA=EB，所以∠EAB=∠EBA，

又因为、仍是与的角平分线，所以∠CBA=∠BAD=90°，所以∠C=90°.