【题目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是 ，MN与EC的数量关系是
（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）成立，见解析.
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系；
（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），进而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，进而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），得出，MN与EC的数量关系．
解：（1），理由如下：
∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是三角形BED的中位线，
∴MN∥BE，MN=
BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=EC，∠AED=90°，
∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN=EC，
故答案为：MN⊥EC，MN=EC；
（2），理由如下：
如下图，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF，
∵BM=MD，∠EMD=∠BMF，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
而AC＝BC，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC, ∠FCB=∠ECA，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE =∠ECA+∠BCE=90°
又点M、N分别是EF、EC的中点
∴MN∥FC，
∴MN⊥EC，
再如下图所示，连接EM并延长交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，
在△EDM和△FBM中，
，
∴△EDM≌△FBM（AAS），
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴
.
小学课堂作业系列答案
金博士一点全通系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
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【题目】如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为
个平方单位？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线
图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA；
（2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和频数直方图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a= ，b= ；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）如果该校九年级共有女生360人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30次或30次以上的女学生有多少人？
（4）已知第一组有两名甲班学生，第四组中只有一名乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】两个全等的等腰直角三角形，斜边长为2，按如图放置，其中一个三角形45°角的项点与另一个三角形的直角顶点A重合，若三角形ABC固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的角边和斜边所在的直线分别与边BC交于点E、F，设BF=
CE=
则
关于
的函数图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
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