Question

3．如图所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB=12cm，BC=16cm．
（1）求AE的长；
（2）求重合部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质和折叠的性质得出∠EDB=∠DBE，证出BE=DE，设AE=xcm，则BE=DE=（16-x）cm，在Rt△ABE中，根据勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）根据勾股定理得到BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，由于四边形ABCD是矩形，得到∠C=90°CD=AB=12，由折叠的性质得DF=CD=12，∠F=∠C=90°，于是得到结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=16cm，∠A=90°，AD∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
由折叠的性质得：∠DBE=∠DBC，
∴∠EDB=∠DBE，
∴BE=DE，
设AE=xcm，
则BE=DE=（16-x）cm，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AE²+AB²=BE²，
即x²+12²=（16-x）²，
解得：x=$\frac{7}{2}$，
∴AE=$\frac{7}{2}$cm；

（2）∵BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°CD=AB=12，
由折叠的性质得DF=CD=12，∠F=∠C=90°，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BE•DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{2}×12$=75cm²，
∴重合部分的面积是75cm²．

点评 本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．