Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2$\sqrt{5}$，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．则 $\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线，首先证明△EFG≌△ECG，得到FG=CG（设为x ），∠FEG=∠CEG；同理可证AF=AD=2$\sqrt{5}$，∠FEA=∠DEA，进而证明△AEG为直角三角形，运用射影定理即可解决问题．

解答 解：如图：

连接EG；
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，DC=AB=4；
由题意得：EF=DE=EC=2，∠EFG=∠D=90°；
在Rt△EFG与Rt△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EC}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△ECG，
∴FG=CG（设为x ），∠FEG=∠CEG；
同理可证：AF=AD=2$\sqrt{5}$，∠FEA=∠DEA，
∴∠AEG=$\frac{1}{2}$×180°=90°，而EF⊥AG，由射影定理得：
2²=2$\sqrt{5}$•x，
∴x=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{5}$．

点评 此题考查矩形的性质，翻折变换的性质，以考查全等三角形的性质及其应用、射影定理等几何知识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．