Question

【题目】（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D

（简单应用）

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）

（问题探究）

（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为　 　

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为　 　（用x、y表示∠P）

（5）在图5中，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）24°；（3）24°；（4）∠P=x+y；（5）∠P=

【解析】

（1）根据三角形内角和为180°，对顶角相等，即可证得∠A+∠B=∠C+∠D

（2）由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②，将两个式子相加，已知AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，可得∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，可证得∠P=(∠ABC+∠ADC)，即可求出∠P度数．

（3）已知直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，可得∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1，∠A+∠4=∠P+∠2，两式相加即可求出∠P的度数．

（4）由（1）的结论得：∠CAB+∠C=∠P+∠CDB，∠CAB+∠P=∠B+∠CDB，第一个式子乘以3，得到的式子减去第二个式子即可得出用x、y表示∠P

（5）延长AB交DP于点F，标注出∠1，∠2，∠3，∠4，由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，其中根据对顶角相等，三角形内角和，以及外角的性质即可得到∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P，代入∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3，即可得出∠P与∠A、∠C的关系．

（1）如图1，

∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD=180°

∵∠AOB=∠COD

∴∠A+∠B=∠C+∠D

（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD

∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，

由（1）的结论得：∠BCP+∠P=∠BAP+∠ABC①，∠PAD+∠P=∠PCD+∠ADC②

①+②，得2∠P+∠PAD+∠BCP=∠BAP+∠ABC +∠PCD+∠ADC

∴∠P=(∠ABC+∠ADC)

∴∠ABC＝28°，∠ADC＝20°

∴∠P=(28°+20°)

∴∠P=24°

故答案为：24°

（3）∵如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，

∴∠1=∠2，∠3=∠4

由（1）的结论得：∠C+180°-∠3=∠P+180°-∠1①，∠A+∠4=∠P+∠2②

①+②，得∠C+180°-∠3+∠A+∠4=∠P+180°-∠1+∠P+∠2

∴30°+18°=2∠P

∴∠P=24°

故答案为：24°

（4）由（1）的结论得：∠CAB+∠C=∠P+∠CDB①，∠CAB+∠P=∠B+∠CDB②

①×3，得∠CAB+3∠C=3∠P+∠CDB③

②-③，得∠P-3x=y-3∠P

∴∠P=x+y

故答案为：∠P=x+y

（5）如图5所示，延长AB交DP于点F

由（1）的结论得：∠A+2∠1=∠C+180°-2∠3

∵∠1=∠PBF=180°-∠BFP-∠P=180°-(∠A+∠3)-∠P

∴∠A+360°-2∠A-2∠3-2∠P=∠C+180°-2∠3

解得：∠P=

故答案为：∠P=