Question

【题目】如图，∠AOB＝45°，点M，N在边OB上，OM＝x，ON＝x+4，点P是边OA上的点，且△PMN是等腰三角形．在x>2的条件下，（1）当x＝______时，符合条件的点P只有一个；（2）当x＝______时，符合条件的点P恰好有三个．（两个小题都只写出一个数即可）

Answer 1

【答案】x>的数均可； 4<x<的数均可；

【解析】

（1）当点M到OA的距离=MN时，符合题意的等腰三角形有两个，此时点P就在垂足位置和或MN的垂直平分线与OA的交点处；所以当点M到OA的距离>MN，符合题意的等腰三角形就只有一个，此时点P就是MN的垂直平分线与OA的交点；

（2）分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；
②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；
③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．

解：（1）过点M作MC⊥OA于点C,

∵MN=ON-OM=(x+4)-x=4,

∴当MC=MN=4时，点P在点C位置可以构成等腰三角形，此时MN=MP=4；点P在线段MN的垂直平分线与OA的交点处，也可以构成等腰三角形，此时PM=PN.即可以作两个等腰三角形，此时OM= =.4 ，当OM>4时，点M到OA的距离就会大于4，即MC>MN,在OA上就不存在点P，使PM=MN=4,，只有PM=PN，所以当x>.4时，符合条件的点P只有一个；

（2）解：分三种情况：
①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；

②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，

∴MC⊥OB，
∵∠AOB=45°，
∴△MCO是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4，
∴OM=4，
当M与D重合时，即x=OM-DM=4-4时，同理可知：点P恰好有三个；
③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，

则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；
点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；
∴当4＜x＜4

时，圆M在移动过程中，则会与OB除了O外有两个交点，满足点P恰好有三个；
综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4-4或4＜x＜4．
故答案为：x=0或x=4-4或4＜x＜4中的任意一个数即可