Question

如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求AD的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据AE=CD，AB=AC，∠BAC=∠C即可求得△ABE≌△CAD；
（2）由（1）得∠AEB=∠ADC，即可求得∠BPQ=∠C，即可求得BP的长，即可解题．

解答：解：（1）∵在△ABE和△CAD中，

AB=AC ∠BAE=∠ACD AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD，（SAS）
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，∠AEB=∠ADC
∵∠DAC+∠ADC+∠ACB=180°，∠DAC+∠AEB+∠APE=180°，
∴∠ACB=∠APE=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP+PE=6+1=7．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．