Question

8．如图，⊙O的直径为AB，弦CD⊥AB于G，PE切⊙O于E交DC延长线于点P，AE交PD于点F．求证：
（1）PE=PF；
（2）PF²=PC•PD．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据切线的性质和圆的半径相等推导即可；
（2）由切割线定理和等量代换可得答案．

解答 证明（1）连接OE，
∵PE为⊙O的切线，
∴∠OED=90°，即∠OEA+∠GFA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠FGA=90°，即∠OAE+∠PEF=90°，
∵OA=OE，
∠OAE=∠OEA，
∴∠AFG=∠PEF，
又∠AFG=∠PFE，
∴∠PFE=∠PEF，
∴PE=PF；
（2）根据切割线定理，PE²=PC•PD，
又PE=PF，
∴PF²=PC•PD．

点评 本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．