Question

【题目】【问题情境】

已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

【数学模型】

设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2（x+）（x＞0）．

【探索研究】

小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+的图象性质．

（1）结合问题情境，函数y=x+的自变量x的取值范围是x＞0，下表是y与x的几组对应值．

x	…				1	2	3	m	…
y	…	4	3	2	2	2	3	4	…

①写出m的值；

②画出该函数图象，结合图象，得出当x=　 　时，y有最小值，y最小=　 　；

提示：在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．试用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值，解决问题（2）

【解决问题】

（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．

Answer 1

【答案】（1）①m=4; ②见解析；（3）长为时，它的周长最小，最小值是4．

【解析】试题分析：（1）①观察表格，即可得结论；②根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，将y=2（x+）进行配方得到y=2[()2+2 ]，即可求出答案．

试题解析：

（1）①由题意m=4．

②函数y=x+的图象如图：

观察图象可知，当x=1时，函数y=x+（x＞0）的最小值是2．

故答案为1，2．

y=x+==+2

∵x＞0，所以≥0，

所以当x=1时，的最小值为0，

∴函数y=x+（x＞0）的最小值是2．

（2）∵y=2[（﹣）2+2]=2（﹣）2+4，

∴当span>=时，y的值最小，最小值为4，

∴当x=时，y的值最小，最小值为4，

答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．