Question

19．如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF、CF
（1）求证：BF=DF；
（2）设AB=1，AE=a（0＜a＜1）是否存在a的值，使得正方形AEFG的面积等于梯形BEFC的面积？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF；
（2）由四边形ABCD和AEFG都是正方形，得到BC=AB=1，EF=AE=1-a，根据正方形AEFG的面积等于梯形BEFC的面积列方程即可得到结论；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB-AE，DG=AD-AG，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠BEF=∠DGF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGF（SAS），
∴BF=DF；
（2）解：存在，
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴BC=AB=1，EF=AE=1-a，
∵正方形AEFG的面积等于梯形BEFC的面积，
∴a²=$\frac{1}{2}$×（1+a）（1-a），
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（负值舍去），
∴当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，正方形AEFG的面积等于梯形BEFC的面积．

点评 本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握基本基础知识，灵活应用解决问题．