Question

【题目】如图，矩形在平面直角坐标系中， 交 轴于点，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 轴正方向移动，移动时间为秒，过点 P 作垂直于 轴的直线，交 于点 M ，交 或 于点 N ，直线扫过矩形 的面积为．

（1）求点 的坐标；

（2）求直线 移动过程中到点之前的 关于 的函数关系式；

（3）在直线 移动过程中，第一象限的直线上是否存在一点 ，使 是等腰直角三角形? 若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在．

【解析】

(1)由 ，且AB=6即可求出AO的长，再由勾股定理即可求出BO的长，即可求出A和B点坐标.

(2)P点从原点出发，在到达终点前，直线l扫过的面积始终为平行四边形BMNE，故求该平行四边的底BE和高OP，相乘即得到面积S；由，且AB=6，可求出AC=10，过D点作DF⊥x轴，易证，求出CF=AO，进而求出OF的长；由，故，求出OE的长，进而求出OB+OE=BE.

(3)分类讨论，当B为直角顶角时，过Q1点作QH⊥y轴，此时△Q1HB≌△BOC，即可求出Q1的坐标；当Q2为直角顶角时，过Q2点作QM⊥y轴，QN⊥x轴，此时Q2MB≌Q2NC,即可求出Q2的坐标.

解：（1）由题意可得

故答案为：

（2）过点作轴，垂足为 F ，则

∴

∵

∴，故，求得

.

当时，直线 扫过的图形是平行四边形，

故答案为：.

存在，．如下图所示：

情况一：当B为直角顶角时，此时BQ1=BC，过Q1点作Q1H1⊥y轴于H1，

∴∠Q1H1B=∠BOC=90°，且BQ1=BC，

∵∠Q1BC=90°

∴∠H1BQ1+∠OBC=90°

又∠BCO+∠OBC=90°

∴∠H1BO1=∠BCO

在△Q1H1B和△BOC中：

，∴△△Q1H1B≌△BOC(AAS)

∴Q1H1=BO=，BH1=OC=，∴OH1=

∴

情况二：当Q2为直角顶角时，此时有Q2B=Q2C，

过Q2点分别作Q2M⊥y轴，Q2N⊥x轴

∴∠MQ2B+∠BQ2N=90°

又∴∠NQ2C+∠BQ2N=90°

∴∠MQ2B =∠NQ2C

在△MQ2B和△NQ2C中

，∴△MQ2B≌△NQ2C(AAS)

∴MQ2= NQ2=OM=ON，且∠MON=90°

∴四边形Q2MON为正方形，设MB=NC=a

则OC-a=ON=OB=，且OC=

∴求得a=，∴ON=OM=OB+a=

∴

故答案为：和