Question

已知：关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0．

（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；

（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值；

（3）在（2）的条件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值．

 

Answer 1

（1）证明见解析；

（2）m=1；

（3）4a2+12an+5n2+16n+8=24．

【解析】

试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，原方程化为x+3=0，解得x=﹣3；当m≠0时，计算判别式得△=（3m﹣1）2，由于（3m﹣1）2≥0，则不论m为任何实数时总有两个实数根，所以不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；

（2）先解方程mx2+（3m+1）x+3=0得到x1=﹣3，x2=，由于方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，易得m=1；

（3）当m=1时得到y=x2+4x+3，当x1=a时，y1=a2+4a+3，当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，则a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，变形得 n（2a+n+4）=0，由于n≠0，所以2a=﹣n﹣4，然后变形4a2+12an+5n2+16n+8得到（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8，再利用整体代入的方法计算．

试题解析：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3；

当m≠0时，

∵△=（3m+1）2﹣12m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2．

∵（3m﹣1）2≥0，

∴不论m为任何实数时总有两个实数根，

综上所述，不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根；

（2）当m≠0时，解方程mx2+（3m+1）x+3=0得 x1=﹣3，x2=，

∵方程mx2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，

∴m=1；

（3）∵m=1，y=mx2+（3m+1）x+3，

∴y=x2+4x+3，

又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，

∴当x1=a时，y1=a2+4a+3，

当x2=a+n时，y2=（a+n）2+4（a+n）+3，

∴a2+4a+3=（a+n）2+4（a+n）+3，

化简得 2an+n2+4n=0，

即 n（2a+n+4）=0，

又∵n≠0，

∴2a=﹣n﹣4，

∴4a2+12an+5n2+16n+8

=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8

=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8

=24．

考点：1、根的判别式；2、根与系数的关系；3、整体思想