Question

如图，矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，P是BC边上一点且不与B重合，连结AP，过点P作∠CPD=∠APB，交x轴于点D，交y轴于点E，过点E作EF∥AP交x轴于点F．

（1）若△APD为等腰直角三角形，求点P的坐标；

（2）若以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

 

 

Answer 1

（1）P（1，2）；（2）PE的解析式为：y=2x﹣2

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质可知∠PAD=∠PDA=45°，再由矩形的性质求得∠1=∠2=45°，进而求得AB=BP=2即可求得．

（2）根据平行四边形的性质得出PD=DE，根据矩形的性质以及已知条件求得PD=PA，进而求得DM=AM，然后通过得出△PDM≌△EDO得出OD=DM=MA=1，EO=PM=2，即可求得．

试题解析：（1）如图1，∵△APD为等腰直角三角形，∴∠APD=90°，

∴∠PAD=∠PDA=45°，

又∵四边形ABCD是矩形，

∴OA∥BC，∠B=90°，AB=OC，

∴∠1=∠2=45°，

∴AB=BP，

又∵OA=3，OC=2，

∴BP=2，CP=1，

∴P（1，2），

（2）如图2∵四边形APFE是平行四边形，

∴PD=DE，

∵OA∥BC，

∴∠CPD=∠4，∠1=∠3，

∵∠CPD=∠1，

∴∠3=∠4，

∴PD=PA，

过P作PM⊥x轴于M，

∴DM=MA，

又∵∠PDM=∠EDO，∠PMD=∠EOD=90°，

在△PDM与△EDO中，

，

∴△PDM≌△EDO（AAS），

∴OD=DM=MA=1，EO=PM=2，

∴P（2，2），E（0，﹣2），

∴PE的解析式为：y=2x﹣2；

考点：一次函数综合题