Question

1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM．
（1）请你判断△OMN的形状，并说明理由．
（2）若BC=2$\sqrt{2}$，则MN的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）连接OA，只需证△OAN≌△OBM即可迅速得出结论；
（2）取NM中点D，连接OD、AD，则根据（1）中结论可知MN=OD+AD，而OD+AD≥OA，即OA就是MN的最小值．

解答 解：（1）△OMN是等腰直角三角形．
理由：连接OA，如图1，

∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠NAO=∠B}\\{AN=BM}\end{array}\right.$，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形；
（2）取MN的中点D，连接OD，AD，如图2，

∵∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=OA=$\frac{1}{2}$MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值为AO，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∴MN的最小值为$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点，难度适中．“中点”是本题的题眼，在初中阶段，与“中点”的几何知识并不多，同学们可自行总结一下“中点”有限几种用法，今后再遇到与“中点”有关的几何题目，就会反应迅速，作出辅助线也就很容易．