Question

【题目】如图1,P为∠MON平分线OC上一点,以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A. B两点,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OAOB=OP ，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角.

(1)如图2,P为∠MON平分线OC上一点,过P作PB⊥ON于B,AP⊥OC于P,那么∠APB___∠MON的关联角(填“是”或“不是”).

(2)①如图3,如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；

②如果∠MON=α°(0°<α°<90°)，OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积。

(3)如图4,点C是函数y= (x>0)图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB的关联角∠APB的顶点P的坐标。

Answer 1

【答案】(1) 是；(2)①，150°；②m×sinα；(3) 点(,)或(,)或(,),P2(,).

【解析】

（1）先判断出△OBP∽△OPA，即可；

（2）①先根据关联角求出OA×OB=4，再利用三角形的面积公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；②根据三角形面积公式把α和m代入即可；

（3）根据条件分情况讨论，点B在y轴正半轴和负半轴，在负半轴时，经过计算，不存在，②在正半轴时，由BC=2AC判断出点C是线段AB的一个三等分点，即可．

(1)∵P为∠MON平分线OC上一点，

∴∠BOP=∠AOP，

∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，

∴∠OBP=∠OPA，

∴△OBP∽△OPA，

∴ ，

∴OP=OA×OB，

∴∠APB是∠MON的关联角.

故答案为是.

(2)①如图，过点A作AH⊥OB，

∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，

∴OA×OB=OP=4，

在Rt△AOH中,∠AOH=90°，

∴sin∠AOH= ，

∴AH=OAsin∠AOH，

∴S = OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP× = ，

∵OP=OA×OB，

∴ ，

∵点P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°30°=150°，

②由①有,S =OB×OA×∠MON=m×sinα；

(3)∵过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，

∴只有点A在x轴正半轴，

①当点B在y轴负半轴时,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n<0)

∴OA=m，OB=n，

∵BC=2CA，

∴点A是BC中点，

∴点C(2m,n)，

∵点C在双曲线y=2x上，

∴2m×(n)=2，

∴mn=1(不符合题意,舍去)，

∵∠AOB的关联角∠APB

∴OP=OA×0B=|m||n|=1，

∴OP=1，

∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，

∴OP=2a，

∴2a=1，

∴a=± ，

∴点P(,)或(,)

②当点B在y轴正半轴,设A(m,0),B(0,n)(m>0,n>0)

∴点C( )，

∴=2，

∴mn=9，

∵∠AOB的关联角∠APB

∴OP=OA×0B=mn=9，

∴OP=3，

∵点P在∠AOB的平分线上,设P(a,a)，

∴OP=2a，

∴2a=9，

∴a=±，

即：点P (,),P2(,)，

综上所述,点(,)或(,)或(,),P2(,).