【题目】阅读下列一段文字,然后回答下列问题.
已知在平面内有两点P1 x1,y1 ,P1 x2,y2 其两点间的距离P1P2 = ,同时,当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可化简为|x2 x1|或|y2 y1|.
(1)已知 A (1,4)、B (-3,5),试求 A.、B两点间的距离;
(2)已知 A、B在平行于 y轴的直线上,点 A的纵坐标为-8,点 B的纵坐标为-1,试求 A、B两点的距 离;
(3)已知一个三角形各顶点坐标为 D(1,6)、E(-2,2)、F(4,2),你能判定此三角形的形状吗?说明理由:
(4)在(3)的条件下,平面直角坐标系中,在 x轴上找一点 P,使 PD+PF的长度最短,求出点 P的坐 标以及 PD+PF的最短长度.
【答案】(1)AB=;(2)AB=7;(3)△DEF为等腰三角形.理由见解析;(4)PD+PF的长度最短时点P的坐标为(,0),此时PD+PF的最短长度为.
【解析】
(1)直接利用两点间的距离公式计算;
(2)根据平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同,所以A、B间的距离为两点的纵坐标之差的绝对值;
(3)先利用两点间的距离公式计算出DE、EF、DF,然后根据等腰三角形的定义可判断△DEF为等腰三角形;
(4)找出F关于x轴的对称点F′,连接DF′,与x轴交于P点,此时PD+PF最短,设直线DF′的解析式为y=kx+b,将D与F′的坐标代入求出k与b的值,确定出直线DF′解析式,令y=0求出x的值,确定出P坐标,由D与F′坐标,利用两点间的距离公式求出DF′的长,即为PD+PF的最短长度.
(1)∵A (1,4)、B (-3,5),
∴AB=;
(2)∵A、B在平行于y轴的直线上,点A的纵坐标为-8,点B的纵坐标为-1,
∴AB=-1-(-8)=7;
(3)△DEF为等腰三角形.理由如下:
D(1,6)、E(-2,2)、F(4,2),
∴DE==5,EF=4-(-2)=6,DF==5,
∴DE=DF,
∴△DEF为等腰三角形;
(4)作F关于x轴的对称点F′,连接DF′,与x轴交于点P,此时DP+PF最短,
设直线DF′解析式为y=kx+b,
将D(1,6),F′(4,-2)代入得:,
解得:,
∴直线DF′解析式为y=-x+,
令y=0,得:x=,即P(,0),
∵PF=PF′,
∴PD+PF=DP+PF′=DF′==,
则PD+PF的长度最短时点P的坐标为(,0),此时PD+PF的最短长度为.
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【题目】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出件,每件盈利元,为扩大销售增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,市场每天可多售件,问他降价多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大利润.
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【题目】如图,网格中每个小正方形的边长为1,点B、C的坐标分别为(-1, 3), (0, 1).
(1)建立符合条件的直角坐标系(要求标出x轴,y轴和原点),并写出点A的坐标
(2)线段AB上任意一点的坐标可以表示为
(3)在y轴上找到一点P,使得S△ABP = 3S△ABC,求出点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线是第一、三象限的角平分线.
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:___________、___________;
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为___________(不必证明);
(3)已知两点、,试在直线L上画出点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,求QD+QE的最小值.
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【题目】某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元?
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?
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