Question

【题目】如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．

…

（1）可求得 ，第个格子中的数为 ；

（2）若前个格子中所填整数之和，则的值为多少？若的值为多少？

（3）若，则的最小值为 ．

Answer 1

【答案】（1）-6；2；（2）1209；1216；（3）15

【解析】

（1）根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是2可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2019除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解；
（2）先计算出三个循环数的和，再照规律分析计算即可；
（3）设a，b，c，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，X，则|x-a|表示线段AX的长，同理，|x-b|，|x-c|分别表示线段BX，CX的长．现要使|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C三点的距离之和最小，画出数轴可得出当x=2时，|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小．

解：（1）任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，设第三个格子所填数为，第四个格子所填数为，

，解得，

又，，

∴数据从左到右依次为：

第个数与第个数、第个数都相同，

即，

同理第个数与第个数相同，

即，

∴每个数“”为一个循环组依次循环，

，

第个格子中的整数与第个格子中的数相同，其值为．

故答案为：-6；2；

（2）由（1）可得，每个数“”为一个循环组依次循环，

又，∴；

且每个循环组的第一个数为9，

又，∴，

故若，则的值为；若，则的值为；

（3）设a，b，c，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，X，

则|x-a|表示线段AX的长，同理，|x-b|，|x-c|分别表示线段BX，CX的长．现要使|x-a|+|x-b|+|x-c|的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C三点距离之和最小．
因为a＜x＜c，即点X在点A，C之间，
∴|x-a|+|x-b|+|x-c|=AX+BX+CX=（AX+CX）+BX=AC+BX，

∴所以当点X与B点重合时，即BX=0，此时距离和最小，这个最小值为AC=c-a=15．
即当x=2时，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值，最小值是15．

故答案为：15．