Question

12．如图，在平面直角坐标系中，直线BC交x轴于点C，交y轴于点B，已知OC=3，OB=4．
（1）直接写出B、C两点坐标．
（2）把线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BA，画出点A的位置，并求出点A坐标．
（3）求出直线BC、直线AB及x轴围成的三角形面积．

Answer 1

分析 （1）根据OB和OC的长度和在坐标系所处的位置即可求得；
（2）根据题意得出BC=BA，∠CBA=90°，进而根据AAS证得△CBO≌△BAD（AAS），根据全等三角形的性质得出BD=OC=3，AD=OB=4，即可求得A的坐标；
（3）根据待定系数法求得AB的解析式，从而求得与x轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可．

解答 解：（1）∵OC=3，OB=4．
∴B（0，4）、C（-3，0）；
（2）如图：依题意得：BC=BA，∠CBA=90°，
∴∠CBO+∠ABD=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠BCO=∠ABD，
过点A作AD⊥BO于D，
在△CBO和△BAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠ABD}\\{∠BOC=∠ADB}\\{BC=BA}\end{array}\right.$
△CBO≌△BAD（AAS），
∴BD=OC=3，AD=OB=4，
∴OD=1，
∵AD∥x轴，
∴A（4，1）；
（3）∵A（4，1），B（0，4），
直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直线AB：$y=-\frac{3}{4}x+4$，
令y=0，则0=-$\frac{3}{4}$x+4，解得x=$\frac{16}{3}$，
∴与x轴的交点$E（\frac{16}{3}，0）$，
∴CE=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$，
S_△BCE=$\frac{1}{2}$×CE×OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×4=$\frac{50}{3}$．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积等，证得三角形全等是解题的关键．