Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线y=﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：

（1）求点A的坐标与直线l的表达式；

（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值为；（3）P（2，﹣），理由见解析.

【解析】

（1）当y=0时，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系数法可求直线l的表达式；

（2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；

（3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P点坐标．

（1）当y=0时，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

由解析式得C（0，），

设直线l的表达式为y=kx+b，将B，C两点坐标代入得b=mk﹣，

故直线l的表达式为y=﹣x+；

（2）当点M在AO上运动时，如图：

由题意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，过点D作x轴的垂线垂足为N，

∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，

∴∠MCO=∠DMN，

在△MCO与△DMN中，

，

∴△MCO≌△DMN，

∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，

∴D（t﹣3+，t﹣3）；

同理，当点M在OB上运动时，如图，

OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，

∴D（t﹣3+，t﹣3）．

综上得，D（t﹣3+，t﹣3）．

将D点坐标代入直线解析式得t=6﹣2，

线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，

∵M在AB上运动，

∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根据勾股定理得CD最小；

（3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时，

∵tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°，

∵△BDP是等边三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，

=，解得t=3﹣，

经检验t=3﹣是此方程的解，

过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB，

∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；

同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，

∵△BDP是等边三角形，

∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，

∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，

=，解得t=3﹣，

经检验t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合题意，舍）．

故P（2，﹣）．