Question

【题目】（1）求证：无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根.

（2）若方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，试求p的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）0或－或

【解析】

（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；

（2）将方程(x－2)(x－3)－p2=0化简为x2－5x+6－p2=0，其两根为正整数，求出两根，根据两根之积等于6－p2求解即可.

(1)把方程(x－2)(x－3)－p2=0化为一般形式得：

x2－5x+6－p2=0

△=(－5)2－4×1×(6－p2)=4p2+1

对于任意实数p，p2≥0

∴△=4p2+1>0

∴无论p为何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0总有两个不相等的实数根.

（2）解：方程(x－2)(x－3)－p2=0化简得：x2－5x+6－p2=0

设方程的两个实数根为a和b.

则：a+b=5. 因为方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，所以，方程的根有下列两种情形：

方程的两个实数根为1，4；此时ab=4

方程的两个实数根为2，3; 此时ab=6

∴当ab=4时，6－p2=4，解得：p=±;

当ab=6 时，6－p2=6，解得：p=0;

综上，方程(x－2)(x－3)－p2=0的两根为正整数，则p的值为0或－或.