Question

在△ABC中，BA=BC，BD为△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G．
（1）如图1，若∠ABC=60°，请直接写出线段AF，EG间的数量关系：

 

；
（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：EG=2AF；
（3）在（2）的条件下，如图3，在∠FAC的外部作∠CAH，使∠CAH=

1

3

∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN，BN，若∠BMN与∠EAH互余，△ABC的面积为18，求BN的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先判断出△ABC是等边三角形，设DF=a，表示出AF、EF，根据两直线平行，内错角相等求出∠G=∠CAE=30°，表示出GE，然后相比即可；
（2）取EG的中点P，连接CF、CP，根据角平分线的定义求出∠BAE=∠FAC=22.5°，根据等腰直角三角形的对称性可得AF=CF，然后求出∠CFP=45°，再求出∠ECG=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=GP=

1

2

EG，根据两直线平行，内错角相等可得∠G=∠BAE=22.5°，再求出∠CPF=45°，根据等角对等边可得CF=CP，从而得到AF=CP，AF=

1

2

EG，整理即可得证；
（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，先求出∠EAH=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠AML=∠BMN=60°，然后求出∠BMK=∠NML，再求出∠BAE=∠BME=22.5°，根据等角对等边可得AB=BM，根据等腰三角形三线合一的性质可得MK=

1

2

AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ML=

1

2

AM，从而得到MK=ML，再利用“角边角”证明△BMK和△NML全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=BM，再根据等腰直角三角形的面积求出AB，再判断出△BMN是等边三角形，然后求解即可．

解答：（1）解：∵BA=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
设DF=a，
∵BD为△ABC的中线，AE为△ABC的角平分线，
∴AF=2a，EF=a，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，
∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，
∴AF=

3

2

EG；
故答案为：AF=

3

2

EG．

（2）证明：取EG的中点P，连接CF、CP，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AF=CF，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠FAC=22.5°，
∴∠CFP=45°，
∵CG∥AB，
∴∠ECG=∠ABC=90°，
∴CP=GP=

1

2

EG，
∵CG∥AB，
∴∠G=∠BAE=22.5°，
∴∠CPF=45°，
∴CF=CP，
∴AF=

1

2

EG，
故EG=2AF；

（3）解：过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，
∵∠CAH=

1

3

∠FAC，
∴∠EAH=22.5°+

1

3

×22.5°=30°，
∴∠AML=90°-30°=60°，
∵∠BMN与∠EAH互余，
∴∠BMN=90°-30°=60°，
∴∠BMK=∠NML，
∵AE是△ABC的平分线，CG∥AB，
∴∠BAE=∠BME=

1

2

×45°=22.5°，
∴AB=BM，
∴MK=

1

2

AM，
∵∠MAH=30°，ML⊥AH，
∴MH=

1

2

AM，
∴MK=ML，
在△BMK和△NML中，

∠BMK=∠NML MK=ML ∠BKM=∠NLM=90°

，
∴△BMK≌△NML（ASA），
∴MN=BM，
∴MN=AB，
∵△ABC的面积为18，
∴

1

2

AB²=18，
∴AB=6，
∵∠BMN=60°，BM=MN，
∴△BMN是等边三角形，
∴BN=MN=6．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形．