Question

【题目】（1）如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站C，使它到A、B两村庄的距离的和最小，请在图中画出点C的位置，并保留作图痕迹．

（探索）

（2）如图，C、B两个村庄在一条笔直的马路的两端，村庄A在马路外，要在马路上建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，请在图中画出点O的位置．

（3）如图，现有A、B、C、D四个村庄，如果要建一个垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，请在图中画出点O的位置．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交l于点C即可；

（2）根据BO＋CO=BC为定长，故需保证AO最小即可，根据垂线段最短，过点A作AO⊥BC于O即可；

（3）根据两点之间线段最短，故连接AC、BD交于点O即可．

解：（1）连接AB，交l于点C，此时AC＋BC=AB，根据两点之间线段最短，AB即为AC＋BC的最小值，如下图所示：点C即为所求；

（2）∵点O在BC上

∴BO＋CO=BC

∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC为定长，

∴当AO+BO+CO最小时，AO也最小

过点A作AO⊥BC于O，根据垂线段最短，此时AO最小，AO+BO+CO也最小，如下图所示：点O即为所求；

（3）根据两点之间线段最短，若使AO＋CO最小，连接AC，点O应在线段AC上；若使BO＋DO最小，连接BD，点O应在线段BD上，

∴点O应为AC和BD的交点

如下图所示：点O即为所求．