Question

3．已知抛物线C₁：y=x²-2（m-1）x+m²-3m-1
（1）证明：不论m为何值，抛物线图象的顶点M均在某一直线l的图象上，求此直线l的函数解析式；
（2）当m=2时，点P为抛物线上一点，且∠MOP=90°，求点P的坐标；
（3）将（2）中的抛物线C₁沿x轴翻折再向上平移1个单位向右平移n个单位得抛物线C₂，设抛物线C₂的顶点为N，抛物线C₂与x轴相交于点A，B（A在B的左边），且AM∥BN，求n的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法可确定抛物线的顶点M坐标为（m-1，-m-2），然后令x=m-1，y=-m-2，然后消去m得到x和y的关系式即可；
（2）先确定抛物线解析式为y=x²-2x-3，点M的坐标为（1，-4），利用旋转的定义，将线段OM绕点O逆时针旋转90°得线段OC，与抛物线相交于点P，如图1，从而得到点C坐标，再求出直线OP的解析式为y=$\frac{1}{4}$x，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得P点坐标；
（3）利用抛物线的几何变换得到N（n+1，5），抛物线C₂的解析式为y=-（x-n-1）²+5，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图2，根据抛物线与x轴的交点问题求出A点和B点坐标，然后证明Rt△AME∽Rt△BNF，再利用相似比得到关于n的方程，解方程可得到n的值．

解答 （1）证明：y=x²-2（m-1）x+m²-3m-1=[x-（m-1）]²-m-2，则抛物线的顶点M坐标为（m-1，-m-2），
令x=m-1，y=-m-2，
则x+y=-3，
所以直线l的函数解析式为y=-x-3；
（2）解：当m=2时，抛物线解析式为y=x²-2x-3，点M的坐标为（1，-4），
将线段OM绕点O逆时针旋转90°得线段OC，与抛物线相交于点P，如图1，
则点C坐标为（4，1），设直线OC的解析式为y=kx，
把C（4，1）代入得4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$，
所以直线OP的解析式为y=$\frac{1}{4}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9+\sqrt{273}}{8}}\\{y=\frac{9+\sqrt{273}}{32}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-\sqrt{273}}{8}}\\{y=\frac{9-\sqrt{273}}{32}}\end{array}\right.$，
所以点P的坐标为（$\frac{9+\sqrt{273}}{8}$，$\frac{9+\sqrt{273}}{32}$）或（$\frac{9-\sqrt{273}}{8}$，$\frac{9-\sqrt{273}}{32}$）；
（3）解：由题意可知，抛物线C₂的顶点N（n+1，5），则抛物线C₂的解析式为y=-（x-n-1）²+5，
过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，如图2，
当y=0时，-（x-n-1）²+5=0，解得x₁=n+1-$\sqrt{5}$，x₂=n+1+$\sqrt{5}$，
∴A（n+1-$\sqrt{5}$，0），B（n+1+$\sqrt{5}$，0），
∵AM∥BN，
∴∠MAE=∠NBF，
∴Rt△AME∽Rt△BNF，
∴$\frac{ME}{NF}$=$\frac{AE}{BF}$，即$\frac{4}{5}$=$\frac{1-（n+1-\sqrt{5}）}{n+1+\sqrt{5}-（n+1）}$，
∴n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和抛物线的几何变换；会求抛物线与直线的交点坐标、抛物线与x轴的交点坐标；利用旋转确定OP的直线解析式是解决（2）小题的关键；利用几何变换画出图象和利用相似比建立等量关系是解决（3）小题的关键．