Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点A、B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A、C在一次函数y₂=x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为6，当y₁随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据题意得出OC长为6可得一次函数中的n的值为6或-6，进而分类讨论得出抛物线对称轴以及开口方向，即可得出x的取值范围．

解答：解：根据OC长为6可得一次函数中的n的值为6或-6． 
分类讨论：①n=6时，y₂=x+6，y=0时，易得A（-6，0）
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（-6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x=2，要使y₁随着x的增大而减小，则a＜0，故x＞2；
②n=-6时，y₂=x-6，y=0时，易得A（6，0），
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，
∴抛物线开口向上，则a＞0，∵AB=16，且A（6，0），
∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x=-2，要使y₁随着x的增大而减小，且a＞0，故x＜-2．

点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点以及二次函数的性质，利用分类讨论得出是解题关键．