Question

【题目】在平行四边形ABCD中，连接BD，过点B作BE⊥BD于点B交DA的延长线于点E，过点B作BG⊥CD于点G．

（1）如图1，若∠C＝60°，∠BDC＝75°，BD＝6，求AE的长度；

（2）如图2，点F为AB边上一点，连接EF，过点F作FH⊥FE于点F交GB的延长线于点H，在△ABE的异侧，以BE为斜边作Rt△BEQ，其中∠Q＝90°，若∠QEB＝∠BDC，EF＝FH，求证：BF+BH＝BQ．

Answer 1

【答案】（1）6﹣2；（2）详见解析．

【解析】

（1）根据平行四边形性质可证：△BDE是等腰直角三角形，运用勾股定理可求DE和AD，AE即可求得；

（2）过点E作ET⊥AB交BA的延长线于T，构造直角三角形，由平行四边形性质及直角三角形性质可证：△BEQ≌△BET（AAS），△BFH≌△TEF（AAS），进而可证得结论．

解：（1）如图1，过点D作DR⊥BC于R，

∵ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC

∵∠C＝60°，∠BDC＝75°，

∴∠CBD＝180°﹣（∠C+∠BDC）＝45°

∴∠ADB＝∠CBD＝45°

∵BE⊥BD

∴∠DBE＝90°

∴∠E＝∠BDE＝45°

∴DE＝BD＝12

∵DR⊥BC

∴∠BRD＝∠CRD＝90°

∴∠BDR＝∠CBD＝45°，

∴DR＝BR

由勾股定理可得即

∴DR＝BR＝6

∵∠C＝60°

∴∠CDR＝90°﹣60°＝30°

∴CR＝2，CD＝4

∴AD＝BC＝DR+CR＝6+2，

∴AE＝DE﹣AD＝12﹣（6+2）＝6﹣2；

（2）如图2，过点E作ET⊥AB交BA的延长线于T，则∠T＝90°

∵ABCD是平行四边形

∴AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC

∵∠QEB＝∠BDC

∴∠QEB＝∠ABD

∵BG⊥CD，BE⊥BD，FH⊥FE

∴∠BGC＝∠ABG＝∠DBE＝∠EFH＝∠Q＝90°

∴∠EBT+∠BET＝∠EBT+∠ABD＝∠EFT+∠BFH＝∠EFT+∠FET＝90°，

∴∠BET＝∠ABD＝∠QEB，∠BFH＝∠FET

∵BE＝BE，EF＝FH

∴△BEQ≌△BET（AAS），△BFH≌△TEF（AAS）

∴BQ＝BT，BH＝FT

∵BF+FT＝BT

∴BF+BH＝BQ．