Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC为⊙O 的弦，OD⊥AB，OD与AC的延长线交于点D，点E在OD上，且∠ECD=∠B.

(1)求证：EC是⊙O的切线；

(2)若OA=3，AC=2，求线段CD的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CD＝7

【解析】

(1) 由AB是直径得∠ACB=90°，连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BCO，所以∠ACO+∠B＝90°，由∠ECD=∠B得∠ECD+∠ACO＝90°，于是得到结论；

（2）根据题意得cosA＝，在Rt△ADO中，根据cosA＝即可得解.

（1）连接OC

∵AB是直径

∴∠ACO+∠BCO＝90°

∵OB＝OC

∴∠B＝∠BCO

∴∠ACO+∠B＝90°

∵∠ECD＝∠B

∴∠ECD+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°

∴CE是⊙O的切线.

（2）∵OA＝3，∠BCA＝90°，AC＝2

∴AB＝6，cosA＝＝

又OD⊥AB，

∴cosA＝＝＝，

解得：CD＝7