Question

【题目】（1）（方法回顾）证明：三角形中位线定理．

已知：如图1，中，D、E分别是AB、AC的中点.

求证：，．

证明：如图1，延长DE到点F，使得，连接CF；

请继续完成证明过程；

（2）（问题解决）

如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长．

（3）（思维拓展）

如图3，在梯形ABCD中，，，，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若，，，求GF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）用“倍长法”将DE延长一倍：延长DE到F，使得EF＝DE，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；

（2）先判断出△AEG≌△DEH（ASA），进而判断出EF垂直平分GH，即可得出结论；

（3）如图3，作辅助线构建全等三角形，先求出AG＝HD＝2，进而判断出△PDH为30度的直角三角形，再用勾股定理求出HF即可得出结论．

（1）证明：（1）如图1，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，

∴CF∥AB，

又∵AD＝BD，

∴CF＝BD，

∴四边形BCFD是平行四边形，

∴DE∥BC，DE＝BC．

（2）如图2，延长GE、FD交于点H，

∵E为AD中点，

∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，

在△AEG和△DEH中，

，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG＝HD＝3，EG＝EH，

∵∠GEF＝90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF＝HF＝DH＋DF＝3＋7＝10；

（3）解：如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，

∴∠A＝∠HDE＝90°，AG＝HD＝2

∵∠ADC＝120°，

∴∠HDF＝360°90°120°＝150°，

∴∠HDP＝30°，

∴PH＝DH＝，PD＝3，

∴PF＝PD＋DF＝3＋4＝7，

在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝，PF＝7，

∴HF＝=

∴GF＝．