Question

15．小聪的妈妈开了一个服装店，一种服装售价为每件60元，可赚20元钱，每星期可以卖出300件，市场调查发现，如果每件涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）这种服装的进价为每件40元，若每件涨价3元，小聪的妈妈每星期卖出270件．
（2）设这种服装每件涨价x元，小聪的妈妈每星期获得利润为y元，请写出y与x的函数关系式．
（3）小聪的妈妈每星期可否获得7000元的最大利润？若能，请说明理由；若不能，请求出最大利润，并指出此时服装的售价为每件多少元．
（4）请分析说明这种服装的售价在什么范围时小聪的妈妈就可获利，是不是售价越高获利越大．

Answer 1

分析 （1）根据售价为每件60元，可赚20元钱，可知进价为40元，根据每件涨价1元，每星期要少卖出10件，可知每件涨价3元，小聪的妈妈每星期卖出300-30=270件；
（2）依题意，利润=单件利润×销售量，可得y与x的函数关系式；
（3）不能．把函数关系式用配方法化为-10（x-5）²+6250，y有最大值为6250．
（4）令-10x²+100x+6000=0，求出抛物线与x轴的交点，运用二次函数的图象和性质可知获利时x的取值范围．

解答 解：（1）根据售价为每件60元，可赚20元钱，可知进价=60-20=40元，根据每件涨价1元；每星期要少卖出10件，可知每件涨价3元，小聪的妈妈每星期卖出300-30=270件；
故答案为：40，270件．
（2）y=（20+x）（300-10x）=-10x²+100x+6000；
（3）每月该商场销售该种商品获利不能达到7000元，理由如下：
∵y=-10x²+100x+6000=-10（x-5）²+6250，
当x=5时，y取最大值为6250元，小于7000元，
∴不能达到；
（3）不是
依题意有：-10x²+100x+6000=0，
解得：x₁=-20，x₂=30，
∵-10＜0，
∴当-20＜x＜30时，y＞0，
即售价在40元到90元之间，小聪的妈妈就可获利，
∵x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{100}{2×（-10）}$=5，
即涨价5元，售价为65元时，利润最大，并不是售价越高获利越大．

点评 本题考查的是二次函数的实际应用，把实际问题转化为数学问题，熟练运用二次函数的图象和性质是解决问题的关键．