Question

7．（1）求函数y=x²-2x+k，-2≤x≤2的最小值
（2）求函数y=x²-kx+2，-2≤x≤2的最小值
（3）求函数y=x²-kx+2，-2≤x≤2的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得二次函数的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=1，根据对称轴在，-2≤x≤2内，即可求得二次函数的最小值；
（2）求得二次函数的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{k}{2}$，然后分①$\frac{k}{2}$≤-2②-2＜$\frac{k}{2}$＜2③$\frac{k}{2}$≥2三种情况，根据二次函数的增减性解答．
（3）求得二次函数的对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{k}{2}$，然后分①$\frac{k}{2}$≤-2②-2＜$\frac{k}{2}$＜0，③$\frac{k}{2}$=0，④0＜$\frac{k}{2}$＜2，⑤$\frac{k}{2}$≥2五种情况，根据二次函数的增减性解答．

解答 解：（1）∵y=x²-2x+k对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=1，且a=1＞0，
∴当-2≤x≤2时，x=1时，二次函数有最小值为y=1-2+k=k-1，
（2）∵y=x²-kx+2对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{k}{2}$，且a=1＞0，
①$\frac{k}{2}$≤-2，即k≤-4时，-2≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
当x=-2时，y最小，最小值y=（-2）²-（-2）k+2=6+2k，
②-2＜$\frac{k}{2}$＜2，即-4＜k＜4时，
当x=$\frac{k}{2}$时有最小值，最小值y=（$\frac{k}{2}$）²-k×$\frac{k}{2}$+2=2-$\frac{{k}^{2}}{4}$，
③$\frac{k}{2}$≥2，即k≥4时，-2≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
当x=2时，y最小，最小值y=2²-k×2+2=6-2k；
（3））∵y=x²-kx+2对称轴为y=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{k}{2}$，且a=1＞0，
①$\frac{k}{2}$≤-2，即k≤-4时，-2≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，
当x=2时，y最大，最大值y=2²-k×2+2=6-2k，
②-2＜$\frac{k}{2}$＜0，即-4＜k＜0时，当x=-2有最大值，最大值y=（-2）²-k×（-2）+2=6+2k，
③$\frac{k}{2}$=0，即k=0时，x=2或-2时，有最大值，最大值y=（-2）²+2=6，
④0＜$\frac{k}{2}$＜2，即0＜k＜4时，当x=2有最大值，最大值y=2²-k×2+2=6-2k，
⑤$\frac{k}{2}$≥2，即k≥4时，-2≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y最大，最大值y=2²-k×2+2=6+2k．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．