Question

【题目】如图，AH是⊙O的直径，矩形ABCD交⊙O于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在CD边上的点F处，画直线EF．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线．
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

如图，连接OE，

∵OA=OE，

∴∠EAO=∠AEO，

由折叠可得∠EAO=∠FAE，

∴∠FAE=∠AEO，

∴AF∥OE，

∴∠AFE+∠OEF=180°，

在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

由折叠可知∠AFE=∠ABC=90°，

∴∠OEF=90°，

∴OE⊥EF，且点E在圆上，OE为半径，

∴EF是⊙O的切线

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，CD=10，

∴AB=CD=10，∠ABE=90°，

设OA=OE=x，则OB=10﹣x，

在Rt△OBE中，∠OBE=90°，EB=5，

由勾股定理可得OB2+BE2=OE2，

∴（10﹣x）2+52=x2，解得x= ，

∴AH=2x= ，

∴⊙O的直径为

【解析】（1）连接OE，由折叠的性质结合条件可证得OE∥AF，再由条件可得AF⊥EF，则可证得结论；（2）可设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，可求得x的值，进一步可求得⊙O的直径．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和翻折变换（折叠问题）的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等才能正确解答此题．