Question

已知线段AB为半圆O的直径，AB=10cm，AC=6cm，点P为AB上一动点，P由B向A以2cm/s的速度运动，到达A点后停止运动．设P点的运动时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形？

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：连接BC，可求得BC=8，再分AP=CP、AP=AC和AC=PC三种情况讨论，①当AP=CP时，过P作PD⊥AC，可知P为AB中点，可求得t，②当AP=AC时，AP=6，可求出t，③当AC=PC时，过C作CE⊥AB，利用三角函数可求出AE的长，可求得t．

解答：解：
连接BC，则∠ACB=90°，
可求得BC=8，
①当AP=CP时，如图1，过P作PD⊥AC，则D为AC中点，且PD∥BC，所以P为AB中点，
所以PB=5，即2t=5，解得t=2.5；

②当AP=AC时，AP=6，则PB=10-6=4，即2t=4，解得t=2，
③当AC=PC时，如图2，过C作CE⊥AB，则cos∠CAE=

AE

AC

=

AC

AB

，即

AE

6

=

6

10

，解得AE=3.6，
所以AP=2AE=7.2，所以BP=10-7.2=2.8，即2t=2.8，解得t=1.4，

综上可知当t为2.5、3.6和1.4时，△ACP为等腰三角形．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分三种情况分别讨论是解题的关键．