Question

【题目】如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形．已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M．

（1）当AN经过圆心O时，求AN的长；

（2）如图2，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长；

（3）当时，求△MON的面积．

Answer 1

【答案】（1）AN＝+2；（2）；（3）或1﹣．

【解析】

(1)如图1中，连接FO延长FO交AB于H．则FH⊥AB，FH⊥DE．解直角三角形求出AO即可解决问题．

(2)如图2中，连接OM，作OJ⊥MN．利用相似三角形的性质求出NJ，再利用垂径定理求出MN即可解决问题．

(3)分两种情形：如图3﹣1中，连接AO，延长AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，连接OM，ON．设AM=MN=x，OJ=y，构建方程组即可解决问题．如图3﹣2中，连接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．想办法求出OM，NK即可解决问题．

(1)如图1中，连接FO延长FO交AB于H．则FH⊥AB，FH⊥DE．

∵DE=4，

∴⊙O的半径为2，

∵FA=FB，FH⊥AB，

∴AH=HB=4，

在中，OH=1，AH=4，

∴，

∴；

(2)如图2中，连接OM，作OJ⊥MN于J．

在中， AH=4，，

∴，

∵，公共，

∴△OJN∽△AHN，

∴，即，

∴JN=，

∵OJ⊥MN，OM=ON，

∴JM=JN，

∴MN=2JN=，

∴△MON的周长=2+2+=；

(3)如图3﹣1中，连接AO并延长AO交⊙O于K，作OJ⊥MN于J，连接OM，ON．

∵，

∴AM=MN=，

设AM=MN=x，OJ=y，

∵OJ⊥MN，OM=ON，

∴JM=JN=，

在中，

，即①，

在中， AO=，，

∴，即②，

联立①②并解得，，

∴，OJ=，

∴S△MON=．

如图3﹣2中，连接ON，作NJ⊥AB于J交DE于K．

∵AM=MN，MK∥AJ，

∴MK是的中位线，

∴NK=JK=OH=1，MK= AJ，

∵NJ⊥AB，DE∥AB，

∴NK⊥OE，

∴sin∠NOK=，

∵，

∴∠NOK=，

∴OK=NK=，

∵NJ⊥AB，FH⊥AB，DE∥AB，

∴四边形OKJH是矩形，

∴HJ=OK=，

∴AJ= AH+ HJ =4+，

∴MK=AJ=2+，

∴OM=MK﹣OK= 2+﹣=2﹣，

∴S△MON=(2﹣)×1=1﹣，

综上所述，满足条件的△MON的面积为或1﹣．