Question

【题目】如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD，
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求当x取多少时，S的值最大，最大是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OC=4，OD=2，

∴DM=6，

∴点M（2，6），

设y=a（x﹣2）2+6，代入（0，4）得：a=﹣ ，

∴该抛物线解析式为y=﹣ （x﹣2）2+6

（2）解：设点P（x，﹣ （x﹣2）2+6），即（x，﹣ x2+2x+4），

过点P作x轴的垂线，交直线CD于点F，

设直线CD为y=kx+4，代入（2，0）得k=﹣2，即y=﹣2x+4，

∴点F（x，﹣2x+4），

∴PF=﹣ x2+2x+4﹣（﹣2x+4）=﹣ x2+4x，

∴S= 2（﹣ x2+4x）=﹣ x2+4x，

令y=a（x﹣2）2+6=0，

解得x1=2+2 ，x2=2﹣2 （舍去），

∴0＜x＜2+2 ，

∵S=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，

∴当x=4时，S有最大值为8．

【解析】（1）由OC与OD的长，求出MD的长，确定出M坐标，设y=a（x﹣2）2+6，把C坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式设出P坐标，过点P做x轴的垂线，交直线CD于点F，利用待定系数法求出直线CD解析式，进而表示出F坐标，得到PF的表达式，表示出S与x的函数解析式，利用二次函数性质求出S最大值时x的值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)．