Question

10．如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点D是$\widehat{AC}$上一动点，则线段BD，CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD．
探索研究：
如图2，△ABC内接于⊙O，AB=AC，点D是$\widehat{AC}$上的一动点，当∠BAC=120°时，求证：BD-CD=$\sqrt{3}$AD．
问题解决：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，射线BP从BC所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜150°），点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD，CD和AD之间的数量关系，并写出对应的α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1，BD=CD+AD，在长边BD上截取BE=CD，再证明DE=AD即可，通过证明△ADC≌△AEB和△ADE是等边三角形可以得出结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先证明∠CAB=∠DAE=120°，再证等腰△DAE得
∠ADE=30°，由30°的余弦可以得出DF与AD的关系，并由等腰三角形三线合一的性质得：DE=2DF，所以DE=$\sqrt{3}$AD，并利用线段的差代入得出结论：BD-CD=$\sqrt{3}$AD；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，与（2）类似可得出结论：BD+CD=$\sqrt{3}$AD；

解答 解：如图1，（1）BD=CD+AD，理由是：
在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ACB=60°，AC=AB，
∵∠ACD=∠ABD，
∴△ADC≌△AEB，
∴AD=AE，
∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AD，
∴BD=DE+BE=AD+CD；
故答案为：BD=CD+AD；
（2）证明：如图2，过A作AF⊥BD于F，在BD上取一点E，使BE=CD，连接AE，
∵AC=AB，∠ACD=∠ABD，
∴△ACD≌△ABE，
∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，
∴∠CAB=∠DAE，
∵∠CAB=120°，
∴∠DAE=120°，
在等腰△DAE中，∠ADE=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵AF⊥DE，
∴DF=EF，
cos30°=$\frac{DF}{AD}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴DE=$\sqrt{3}$AD，
∵DE=BD-BE=BD-CD，
∴BD-CD=$\sqrt{3}$AD；
（3）如图3，延长BD至E，使BE=CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=30°，
∵∠CDP=120°，
∴∠CDP=∠DCB+∠DBC=120°，
∴∠DCB=120°-∠DBC，
∴∠DCA=∠DCB+∠ACB=120°-∠DBC+30°=150°-∠DBC，
∵∠ABE=180°-∠DBC-∠ABC=180°-30°-∠DBC=150°-∠DBC，
∴∠DCA=∠ABE，
∴△ADC≌△AEB，
∴AE=AD，∠CAD=∠BAE，
∴∠DAE=∠CAB=120°，
∴∠ADE=∠AED=30°，
同（2）得：点F是DE的中点，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，DE=$\sqrt{3}$AD，
∴DE=BD+BE=BD+CD=$\sqrt{3}$AD（0°＜α＜150°）．

点评 本题是圆的综合题，其中涉及到圆周角定理、全等三角形、相似三角形、等腰三角形和等边三角形的性质和判定等知识，综合性较强，难度适中，恰当地作辅助线构建△AEB≌△ADC是解题的关键；在几何证明中，线段的和或差是一个难点，常用的思路为：①截，在长边上截取短边的长，②接，延长短边等于长边．