Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）

（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．
猜想并证明：
判断四边形AECF的形状并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示

（2）解：四边形AECF的形状为菱形．理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AM平分∠DAC，

∴∠DAM=∠CAM，

而∠DAC=∠ABC+∠ACB，

∴∠CAM=∠ACB，

∴EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOF=∠COE，

在△AOF和△COE中

，

∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，

即AC和EF互相垂直平分，

∴四边形AECF的形状为菱形

【解析】先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等即可以解答此题．