如图①.直线l1:$y=\frac{4}{3}x+4$与x轴交于B点.与直线l2交于y轴上一点A.且l2与x轴的交点为C(3.0)．.作DE⊥AB于E.DE交y轴于点F.交AC轴于点G.①求证:△ABO≌△DFO,②求点G的坐标,(2)如图②.将△ABC沿x轴向右平移.AB边与y轴于点P.过点P作一条直线与AC的延长线交于点Q.与x轴交于点M.且BP=CQ.在△ABC平移的过程中.线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图①，直线l₁：$y=\frac{4}{3}x+4$与x轴交于B点，与直线l₂交于y轴上一点A，且l₂与x轴的交点为C（3，0）．
（1）过x轴上一点D（4，0），作DE⊥AB于E，DE交y轴于点F，交AC轴于点G，①求证：△ABO≌△DFO；
②求点G的坐标；
（2）如图②，将△ABC沿x轴向右平移，AB边与y轴于点P（P不与A、B两点重合），过点P作一条直线与AC的延长线交于点Q，与x轴交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，求出其长度；若变化，确定其变化范围．
（3）将△ABC沿x轴向右平移a个单位，以AC为斜边作Rt△ACH，连接OH，直接写出线段OH长度的最小值（用含a的代数式表示，可不化简）．

分析（1）①先求得直线$y=\frac{4}{3}x+4$与y轴的交点A的坐标，即可得到边OA的长度，由点D的坐标可得OD的长度，可得OA=OD，再由DE⊥AB于E，可得∠AEF=90°，所以∠AFE+∠EAF=90°，又因为∠OFD+∠FDO=90°，又因为∠AFE=∠OFD，可得∠EAF=∠FDO，又因为∠AOB=∠DOF=90°，从而可判定△ABO≌△DFO；②先求得点B的坐标，再由①可知△ABO≌△DFO，可得OF=OB，从而可求得点F的坐标，再利用待定系数法可求得直线DF的解析式，再求得直线AC的解析式，把两个解析式联立为方程组，解出即可得到点G的坐标；
（2）过点P作PN∥AB交BC于点N，根据平行线的性质可得∠MPN=∠Q，然后证明PN=BQ，再利用“角角边”证明△QCM和△PNM全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得ON=OC，从而证明OM=$\frac{1}{2}$BC，是定值；（3）过点P作PN∥AC交BC于点N，根据平行线的性质可得∠MPN=∠Q，然后证明PN=CQ，再利用“角角边”证明△QCM和△PNM全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=CM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得ON=OB，从而证明OM=$\frac{1}{2}$BC，是定值；
（3）取AC的中点T，以点T为圆心，AC为半径作圆，连接OT，交圆于点H，则此时OH的值最小，过点A、T分别作x轴的垂线，垂足分别为I、S，由（1）（2）可知三角形ABC为等腰三角形，再由点A、B、C的坐标可求得AC、BC、AI的长度，再利用三角形的中位线的性质即可求得TS、IS的长度，即可得到点T的坐标，再利用勾股定理即可求得线段OT的长度，从而得到线段OH的最小值．

解答解：（1）如图1，①证明：对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$，令x=0，得y=4，
∴点A的坐标为：（0，4），
∴OA=4，
∵D点的坐标为（4，0），
∴OD=4，
∴OA=OD，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠EAF=90°，
∵∠OFD+∠FDO=90°，∠AFE=∠OFD，
∴∠EAF=∠FDO，又因为∠AOB=∠DOF=90°，
在△ABO与△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠FDO}\\{OA=OD}\\{∠AOB=∠DOF}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△DFO；

②对于直线$y=\frac{4}{3}x+4$，令y=0，得x=-3，
∴点B的坐标为（-3，0），
∵△ABO≌△DFO，
∴OF=OB=3，
∴点F的坐标为（0，3），
设直线DF的解析式为y₁=k₁x+b₁，
把点F（0，3）、点D（4，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=3}\\{{4k}_{1}{+b}_{1}=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-\frac{3}{4}}\\{{b}_{1}=3}\end{array}\right.$
∴直线DF的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
设直线AC的解析式为y₂=k₂x+b₂，
把点A（0，4）、点C的坐标（3，0）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{2}=4}\\{{3k}_{2}{+b}_{2}=0}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-\frac{4}{3}}\\{{b}_{2}=4}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+3}\\{y=-\frac{4}{3}x+4}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{7}}\\{y=\frac{12}{7}}\end{array}\right.$
∴点G的坐标为（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）；

（2）OM的长度不会发生变化，如图2，过P点作PN∥AC交BC于N点，
则∠MPN=∠Q，∠ACB=∠PNB，
由（1）中图1可得OB=OC=3，BC=6，
∴AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠PNB=∠PBC，
∴PN=PB，
∵BP=CQ，
∴PN=CQ，
∵∠PMN=∠QMC，
在△QCM与△PNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMN=∠QMC}\\{∠MPN=∠MQC}\\{PN=QC}\end{array}\right.$
∴△QCM≌△PNM（AAS），
∴MN=CM．
∵PB=PN，PO⊥BN，
∴ON=OB，
∵CM+MN+ON+OB=BC，
∴OM=MN+ON=$\frac{1}{2}$BC=3，
故是定值；

（3）如图3，取AC的中点T，以点T为圆心，AC为半径作圆，连接OT，交圆于点H，过点A、T分别作x轴的垂线，
由（1）（2）可知△ABC是等腰三角形，
AC=5，BC=6，AI=4，
∵AI⊥x轴，TS⊥x轴，
∴AI∥TS，
∵点T是AC的中点，
∴TS是△AIC的中位线，
∴TS=2，IS=1.5，
∴OS=1.5+a，
∴点T的坐标为（1.5+a，2），
在Rt△OTS中，
OT=$\sqrt{{2}^{2}{+（1.5+a）}^{2}}$，
∴OH=OT-TH=$\sqrt{{2}^{2}{+（1.5+a）}^{2}}$-2.5．

点评本题综合考查了一次函数，待定系数法求直线解析式，两直线的交点的求解，全等三角形的判定与性质，综合性较强，关系比较复杂，但难度不大，只要仔细分析，认真求解，便不难解答．

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