Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（-1，0）

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）求出A、B坐标，利用待定点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
（2）由点C的坐标为（0，3），点D（1，0），可知满足条件的点P的纵坐标为2，解方程-x2+2x+3=2即可得到点P的横坐标，由此即可解决问题．

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，

∴由题意可求点A的坐标为（3，0）．

将点A（3，0）和点B（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c，

得 ，

解得 ，

∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3．

（2）如图，

∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），

∴满足条件的点P的纵坐标为2．

∴﹣x2+2x+3=2．

解得 x1=1+，x2=1﹣，

∴点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．