Question

【题目】如图，已知点A（4，0），B（0，4 ），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（4，0），B（0，4 ），

∴ ，

解得：

∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+4

（2）

解：∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，

∴EF=2 ，DF=4，

∵点D与点A重合，

∴D（4，0），

∴F（2，2 ），

∴G（3， ），

∵反比例函数y= 经过点G，

∴k=3 ，

∴反比例函数的解析式为：y=

（3）

解：经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：

∵点F在直线AB上，

∴设F（t，﹣ t+4 ），

又∵ED=2，

∴D（t+2，﹣ t+2 ），

∵点G为边FD的中点．

∴G（t+1，﹣ t+3 ），

若过点G的反比例函数的图象也经过点F，

设解析式为y= ，

则 ，

整理得：（﹣ t+3 ）（t+1）=（﹣ t+4 ）t，

解得：t= ，

∴m= ，

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=

【解析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；（3）设F（t，﹣ t+4 ），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y= ，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小才能正确解答此题．