【题目】如图,已知点A(4,0),B(0,4 ),把一个直角三角尺DEF放在△OAB内,使其斜边FD在线段AB上,三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中∠EFD=30°,ED=2,点G为边FD的中点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,当点D与点A重合时,求经过点G的反比例函数y= (k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑动的过程中,经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能,求出此时反比例函数的解析式;如果不能,说明理由.
【答案】
(1)
解:设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(4,0),B(0,4 ),
∴ ,
解得:
∴直线AB的解析式为:y=﹣ x+4
(2)
解:∵在Rt△DEF中,∠EFD=30°,ED=2,
∴EF=2 ,DF=4,
∵点D与点A重合,
∴D(4,0),
∴F(2,2 ),
∴G(3, ),
∵反比例函数y= 经过点G,
∴k=3 ,
∴反比例函数的解析式为:y=
(3)
解:经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F;理由如下:
∵点F在直线AB上,
∴设F(t,﹣ t+4
),
又∵ED=2,
∴D(t+2,﹣ t+2
),
∵点G为边FD的中点.
∴G(t+1,﹣ t+3
),
若过点G的反比例函数的图象也经过点F,
设解析式为y= ,
则 ,
整理得:(﹣ t+3
)(t+1)=(﹣
t+4
)t,
解得:t= ,
∴m= ,
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F,这个反比例函数解析式为:y=
【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,把点A、B的坐标代入,组成方程组,解方程组求出k、b的值即可;(2)由Rt△DEF中,求出EF、DF,在求出点D坐标,得出点F、G坐标,把点G坐标代入反比例函数求出k即可;(3)设F(t,﹣ t+4
),得出D、G坐标,设过点G和F的反比例函数解析式为y=
,用待定系数法求出t、m,即可得出反比例函数解析式.
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质的相关知识点,需要掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小才能正确解答此题.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点C(0,4),射线CE∥x轴,直线y=﹣ x+b交线段OC于点B,交x轴于点A,D是射线CE上一点.若存在点D,使得△ABD恰为等腰直角三角形,则b的值为 .
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F. (Ⅰ)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)若BD=2 ,BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP(点A落在点E处),PE与CD相交于点O,且OE=OD,则DP的长为( )
A. B.
C. 1 D.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D、E分别是边BC、AC的中点,连接DE,将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
①当α=0°时, =;②当α=180°时,
= .
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时, 的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
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【题目】设二次函数y1=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a≠0,x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象交于点(x1 , 0),若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点,则( )
A.a(x1﹣x2)=d
B.a(x2﹣x1)=d
C.a(x1﹣x2)2=d
D.a(x1+x2)2=d
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【题目】有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字0,1,2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0.现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标.
(2)求点M(x,y)在函数y=﹣x2﹣1的图象上的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(m,m)在第一象限,且实数m满足条件:,ABy轴于B,ACx轴于C
(1)求m的值;
(2)如图1,BE=1,过A作AF⊥AE交x轴于F,连EF,D在AO上,且AD=AE,连接ED并延长交x轴于点P,求点P的坐标;
(3)如图2,G为线段OC延长线上一点,AC=CG,E为线段OB上一动点(不与O、B重合),F为线段CE的中点,若BF⊥FK交AG于K,延长BF、AC交于M,连接KM.请问∠FBK的大小是否变化?若不变,请求其值;若改变,求出变化的范围.
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