Question

16．如图，四边形ABCD为平行四边形，试说明：
（1）$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AB}{CF}$；
（2）若连接AC，交DE于点G，则DG是EG、FG的比例中项．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{AD}$，$\frac{CD}{BE}=\frac{CF}{BF}$，根据比例的性质得到$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{BF}$，等量代换即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，根据相似三角形的性质得到$\frac{DG}{GE}=\frac{CG}{AG}$，$\frac{GF}{DG}=\frac{CG}{AG}$，等量代换得到$\frac{DG}{GE}=\frac{GF}{DG}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴△BEF∽△AED，△BEF∽△CDF，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BF}{AD}$，$\frac{CD}{BE}=\frac{CF}{BF}$，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{BE}{BF}$，$\frac{AB}{CF}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AB}{CF}$；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△CDG∽△AEG，△ADG∽△CGF，
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{CG}{AG}$，$\frac{GF}{DG}=\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{DG}{GE}=\frac{GF}{DG}$，
∴DG²=GE•GF，
∴DG是EG、FG的比例中项．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．