Question

如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，作AD⊥CD，垂足为D．

（1）若直线CD与⊙O相切于点C，求证：△ADC∽△ACB；

（2）如果把直线CD向下平行移动，如图2，直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，tan∠DAC=，AB=10，求圆心O到GB的距离OH的长．

　

Answer 1

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）首先连接OC，由CD切⊙O于C，根据切线的性质，可得OC⊥CD，又由AD⊥CD，可得OC∥AD，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠CAO，根据圆周角定理求得∠ACB=90°，得出∠ADC=∠ACB，即可证得结论；

（2）由于四边形ABGC为⊙O的内接四边形，根据圆的内接四边形的性质得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，根据tan∠DAC==tan∠GAB=和勾股定理求得AG=8，GB=6，然后求得△ABG∽△OBH，根据相似三角形的性质求得==，即可求得OH=4．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵直线CD与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠ACB，

∴△ADC∽△ACB；

（2）解：如图2，∵AB是⊙O的直径，

∴∠AGB=90°，

∵四边形ABGC是⊙O的内接四边形，

∴∠ACD=∠B，

∵∠ADC=∠AGB=90°，

∴∠DAC=∠GAB，

∵tan∠DAC==tan∠GAB=，

设GB=3x，AG=4x，

∵AB=10，

∴（3x）²+（4x）²=10²，

解得x=2，

∴AG=8，GB=6，

∵OH⊥GB，AG⊥GB，

∴OH∥AG，

∴△ABG∽△OBH，

∴==，

∴OH=4．

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．