Question

【题目】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为xcm/s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t＝ s时，四边形EBFB'为正方形；

（2）当x为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等？

（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5；（2）3或4；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）分两种情况讨论，①△EBF≌△FCG，②△EBF≌△GCF，分别根据对应边相等列等式计算即可；

（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在同一条件下的t值，但它们互相矛盾，所以不存在．

解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，BE=10-t，BF=3t，

即：10-t=3t，

解得t=2.5；

（2）分两种情况讨论：

①△EBF≌△FCG，

则EB=FC，BF=CG，

∴，

解得：，

②当△EBF≌△GCF时，

则EB=GC，BF=FC，

∴，

解得：，

综上，当x=3或4时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形可能全等；

（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．

如图，过点O作OM⊥BC于点M， ON⊥AB于点N，

则在Rt△OFM中，，，

∴，

即，

解得：

在Rt△OEN中，，，，

∴，

即，

解得：，

∵，

∴假设不成立，

即不存在实数t，使得点B'与点O重合．