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    3．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=18，CD=9，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，E是CD上动点，连接PA，PE
    （1）如果BC=30，CE=8那么是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由；
    （2）若PE⊥PA且点E总在线段CD上，则m的取值范围是0＜m≤18$\sqrt{2}$；
    （3）如图2，若PE⊥PA，m=36，将△PEC沿PE翻折到△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

    分析 （1）根据相似三角形的判定与性质，分别得出当$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BP}{CP}$或$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$时符合题意，求出答案即可；
    （2）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
    （3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．

    解答 解：（1）设BP=x，
    ∵AB⊥BD，CD⊥BD，
    ∴∠B=∠D=90°，
    ∴当$\frac{AB}{CE}$=$\frac{BP}{CP}$或$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、E三点为顶点的三角形相似，
    ∴①$\frac{18}{8}$=$\frac{x}{30-x}$或②$\frac{18}{30-x}$=$\frac{x}{8}$，
    解得：x=$\frac{270}{13}$或x1=6，x2=24，
    故BP的长度为：$\frac{270}{13}$或6或24；

    （2）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，
    ∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，
    ∴△ABP∽△PCE，
    ∴$\frac{AB}{PC}$=$\frac{BP}{EC}$，即$\frac{18}{m-x}$=$\frac{x}{y}$，
    ∴y=-$\frac{1}{18}$x2+$\frac{m}{18}$x
    =-$\frac{1}{18}$（x-$\frac{m}{2}$）2+$\frac{{m}^{2}}{72}$，
    ∴当x=$\frac{m}{2}$时，y取得最大值，最大值为$\frac{{m}^{2}}{72}$，
    ∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
    ∴$\frac{{m}^{2}}{72}$≤9，
    解得m≤18$\sqrt{2}$．
    ∴m的取值范围为：0＜m≤18$\sqrt{2}$．
    故答案为：0＜m≤18$\sqrt{2}$；

    （3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，
    又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，
    ∴∠APG=∠APB．
    ∵∠BAG=90°，
    ∴AG∥BC，
    ∴∠GAP=∠APB，
    ∴∠GAP=∠APG，
    ∴AG=PG=PC．

    如图2所示，分别延长CE、AG，交于点H，
    则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=18-y，GH=AH-AG=36-（36-x）=x，
    在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GE2，
    即：x2+（18-y）2=y2，化简得：x2-36y+324=0  ①
    由（1）可知，y=-$\frac{1}{18}$x2+$\frac{m}{18}$x，这里m=36，
    ∴y=-$\frac{1}{18}$x2+2x，
    代入①式整理得：3x2-8x+4=0，
    解得：x=18或x=6，
    ∴BP的长为18或6．

    点评 本题考察了代数几何综合题、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．

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