Question

【题目】如图，扇形，且，，为弧上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根据E为直角三角形OCD的内心，求出∠OEC=135°，连接BE，证明△OCE≌△OBE，得到∠OEB=135°，得到点E路径为以OB为弦，所对圆心角为135°的圆弧，构造⊙G，求出∠G=90°，，根据弧长公式计算即可．

解：如图，∵，

∴∠COD+∠OCD=90°，

∵E为直角三角形OCD的内心，

∴OE、CE分别平分∠COD、∠OCD，

∴∠OEC=，

连接BE，

∵OE=OE，OC=OC，∠COE=∠BOE

∴△COE≌△BOE

∴∠OEB=∠OEC=135°

∴点E的路径为以OB为弦，所对圆心角为135°的圆弧，

过点O、E、B作圆G，作圆内接四边形OEBF，则∠F=45°，

∴∠G=90°，

∵OG=OB，OB=4，

∴OG=，

∴弧OB长为：．

故答案为：