Question

【题目】如图1，在△ABC中，I是内心，AB＝AC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O经过点I．

（1）求证：AI是⊙O的切线；

（2）如图2，连接CI交AB于点E，交⊙O于点F，若tan∠IBC＝，求．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）=．

【解析】

(1)延长AI交BC于D，连接OI．由I是△ABC的内心，得到BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．求得∠1=∠3，推出OI∥BD，得到OI⊥AI．于是得到结论；

(2)连接BF，过B作BM⊥CF于M由(1)得AD垂直平分BC，求得BI=CI，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠4，设法证得FB∥AD，证得△AEI～△BEF，得到．设ID=a，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．

(1)证明：延长AI交BC于D，连接OI．

∵I是△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，AI平分∠BAC．

∴∠1=∠3，

∵AB=AC，

∴AD⊥BC．

又∵OB=OI，

∴∠3=∠2．

∴∠1=∠2．

∴OI∥BD，

∴OI⊥AI，

∴AI为⊙O的切线；

(2)解：连接BF，过B作BM⊥CF于M，

由(1)得AD垂直平分BC，

∴BI=CI，

∴∠1=∠4

故∠1=∠2=∠3=∠4=α，

∴∠BOI=180°﹣2α，

∴∠F=∠BOI=90°﹣α，

∴∠F+∠4=90°，

∴∠FBC=∠ADC=90°，

∴FB∥AD，

∴△BEF～△AEI，

∴．

∵DI∥BF，BD=CD，

∴CI=FI，

∴BF=2ID，

故，

设ID=a，

∵，

∴，

由面积法：，

∴，

又∠MIB=2∠1=∠ABD，

∴tan∠MIB=tan∠ABD，

∴，

∴，

∴，

∴．